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Quiz Maths : relations d'équivalences

Zorro2000onepiece
Zorro2000onepiece
8 joués - il y a 4 ans

Testez vos connaissances sur cette notion de première importance en théorie des ensembles, et en algèbre !
Ce sera aussi l'occasion pour vous d'en apprendre plus et de voir plus loin sur ce qu'on peut faire avec cet outil.

 

Difficile QUIZ 16 QUESTIONS
difficile
 
Question 1 / 16

On ne s'intéressera ici qu'aux relations d'équivalences binaires ; c'est-à-dire, les relations qui mettent en parallèle deux éléments d'un ensemble. Dans la suite E désignera un ensemble et R une relation d'équivalence sur E. Quelle est la propriété que ne respecte pas une telle relation R ?

 
Question 2 / 16
Soient x et y, deux éléments de E. Notons C(x) la classe d'équivalence de x définie comme sur l'image. À quoi la propriété "xRy" est-elle équivalente pour tout ensemble E et toute relation d'équivalence R ?

Soient x et y, deux éléments de E. Notons C(x) la classe d'équivalence de x définie comme sur l'image. À quoi la propriété "xRy" est-elle équivalente pour tout ensemble E et toute relation d'équivalence R ?

 
Question 3 / 16

Par la question précédente, on obtient qu'un ensemble est partitionné par une relation d'équivalence. Ainsi, comment pourrait-on définir moins formellement une relation d'équivalence ?

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Question 4 / 16
Les relations d'équivalences nous permettent de mettre de l'ordre dans les ensembles mathématiques, de la même manière que le fait de ranger correctement les informations dans son cerveau permet une plus grande efficacité. Il est d'usage de considérer l'ensemble E/R, E quotienté par sa relation d'équivalence R. Soit x dans E/R, quel genre d'objet est x ?

Les relations d'équivalences nous permettent de mettre de l'ordre dans les ensembles mathématiques, de la même manière que le fait de ranger correctement les informations dans son cerveau permet une plus grande efficacité. Il est d'usage de considérer l'ensemble E/R, E quotienté par sa relation d'équivalence R. Soit x dans E/R, quel genre d'objet est x ?

 
Question 5 / 16

À partir de cette question, G désignera un groupe dont la représentation se fera avec la notation multiplicative. Avant de définir une action de groupe, définissons l'application suivante : l'application externe qui va du produit GxE qui va dans E, qui au couple (g,x) associe le produit externe g.x. Que doit-on vérifier avant toutes choses ?

 
Question 6 / 16

Une fois que l'on a pris la précaution mentionnée à la question 5 (ou pas), laquelle de ces deux propositions permet d'obtenir la réflexivité et la symétrie de la relation engendrée par l'application ? (On note e le neutre de G).

 
Question 7 / 16

Même question, mais pour la transitivité ?

 
Question 8 / 16
Comment appelle-t-on l'ensemble décrit par l'image ?

Comment appelle-t-on l'ensemble décrit par l'image ?

 
Question 9 / 16
Et cet ensemble ?

Et cet ensemble ?

 
Question 10 / 16

Quel automorphisme découle implicitement de l'action de G sur E à gauche ?

 
Question 11 / 16
En faisant l'analogie avec la question 4, que désigne donc l'ensemble quotient E/G ?

En faisant l'analogie avec la question 4, que désigne donc l'ensemble quotient E/G ?

 
Question 12 / 16

Soit l'exemple d'un morphisme de groupe f de G dans F. Notons e_F le neutre de F et Ker(f) = f^(-1)({e_F}) le noyau de f. Quel est l'intérêt de l'opération G/Ker(f) dans le cas général ?

 
Question 13 / 16

Avant d'en arriver là, il est d'usage de considérer ce qu'on appelle la surjection canonique p qui va de G dans G/Ker(f). Quel est "son travail" ?

 
Question 14 / 16

Ainsi, la factorisation canonique se définit comme tel : il existe une et une seule application c(f) de G/Ker(f) dans Im(f) telle que f = c(f) o p (o est la composition et se lit "rond"). Que cela signifie-t-il moins formellement ?

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Question 15 / 16

Comme cette propriété n'est valide que si l'on considère c(f) à valeur dans Im(f), il est d'usage de considérer l'ensemble quotient F/Im(f). Comment appelle-t-on cet ensemble dans la littérature ?

 
Question 16 / 16

Pour finir ce quiz, parlons de réduction. En réduction, on manipule des classes de similitudes ou de conjugaison. Ces classes-là sont l'ensemble des orbites des matrices carrées ou endomorphisme d'un espace vectoriel sous l'ensemble des matrices inversibles ou des automorphismes. Quelle est l'action de groupe qui permet cette étude ? L'application de GxE dans E, qui à (g,x) associe ...