Classique Classique Quiz Maths : relations d'équivalences par Zorro2000onepiece Zorro2000onepiece 8 joués - il y a 3 ans Testez vos connaissances sur cette notion de première importance en théorie des ensembles, et en algèbre ! Ce sera aussi l'occasion pour vous d'en apprendre plus et de voir plus loin sur ce qu'on peut faire avec cet outil. QUIZ 16 QUESTIONS difficile Mathematiques 1 On ne s'intéressera ici qu'aux relations d'équivalences binaires ; c'est-à-dire, les relations qui mettent en parallèle deux éléments d'un ensemble. Dans la suite E désignera un ensemble et R une relation d'équivalence sur E. Quelle est la propriété que ne respecte pas une telle relation R ? RéflexivitéSymétrieAntisymétrieTransitivité 2 Soient x et y, deux éléments de E. Notons C(x) la classe d'équivalence de x définie comme sur l'image. À quoi la propriété "xRy" est-elle équivalente pour tout ensemble E et toute relation d'équivalence R ? C(x) = C(y)C(x) et C(y) sont disjointsX = y 3 Par la question précédente, on obtient qu'un ensemble est partitionné par une relation d'équivalence. Ainsi, comment pourrait-on définir moins formellement une relation d'équivalence ? Distinguer des objets mathématiques qui se ressemblent de prime abord, selon un même critère RRegrouper un ensemble d'objets mathématiques pour n'utiliser qu'un seul représentant, selon un même critère R Quizz.biz est un service gratuit financé par la publicité. Pour nous aider et ne plus voir ce message : Je désactive Adblock ou Je vous soutiens sur Tipeee 4 Les relations d'équivalences nous permettent de mettre de l'ordre dans les ensembles mathématiques, de la même manière que le fait de ranger correctement les informations dans son cerveau permet une plus grande efficacité. Il est d'usage de considérer l'ensemble E/R, E quotienté par sa relation d'équivalence R. Soit x dans E/R, quel genre d'objet est x ? Un élément de EUn ensemble d'éléments de EUn ensemble d'ensembles d'éléments de E 5 À partir de cette question, G désignera un groupe dont la représentation se fera avec la notation multiplicative. Avant de définir une action de groupe, définissons l'application suivante : l'application externe qui va du produit GxE qui va dans E, qui au couple (g,x) associe le produit externe g.x. Que doit-on vérifier avant toutes choses ? Que la relation induite par cette application sur E est bien d'équivalenceQue le produit externe donne bien un élément de ELes deux dernières propositions sont toujours automatiques 6 Une fois que l'on a pris la précaution mentionnée à la question 5 (ou pas), laquelle de ces deux propositions permet d'obtenir la réflexivité et la symétrie de la relation engendrée par l'application ? (On note e le neutre de G). Pour chaque x dans E, chaque g et h dans G, g.(h.x) = (g.h).xPour chaque x dans E, e.x = xOn a toujours une relation d'équivalence à partir d'une translation à droite sur un ensemble E 7 Même question, mais pour la transitivité ? Pour chaque x dans E, e.x = xPour chaque x dans E, chaque g et h dans G, g.(h.x) = (g.h).xOn a toujours une relation d'équivalence à partir d'une translation à droite sur un ensemble E 8 Comment appelle-t-on l'ensemble décrit par l'image ? L'orbite de xLe stabilisateur de xL'idéal de G engendré par xLe centre de G 9 Et cet ensemble ? L'orbite de x sous GLe stabilisateur de x sous GL'idéal de G engendré par xLe centre de G 10 Quel automorphisme découle implicitement de l'action de G sur E à gauche ? L'identitéUne transpositionUn cycleUne permutation 11 En faisant l'analogie avec la question 4, que désigne donc l'ensemble quotient E/G ? L'ensemble des stabilisateurs des éléments de EL'ensemble des orbites de E sous G 12 Soit l'exemple d'un morphisme de groupe f de G dans F. Notons e_F le neutre de F et Ker(f) = f^(-1)({e_F}) le noyau de f. Quel est l'intérêt de l'opération G/Ker(f) dans le cas général ? De ''rendre f injective''De ''rendre f surjective''De ''rendre f bijective'' 13 Avant d'en arriver là, il est d'usage de considérer ce qu'on appelle la surjection canonique p qui va de G dans G/Ker(f). Quel est "son travail" ? D'associer un élément de G à son stabilisateur sous Ker(f)D'associer un élément de G à son orbite sous Ker(f)D'associer un élément de l'ensemble des orbites de G sous Ker(f) à un représentant de l'orbite choisieD'associer un élément de l'ensemble des stabilisateurs de G sous Ker(f) à un représentant du stabilisateur choisi 14 Ainsi, la factorisation canonique se définit comme tel : il existe une et une seule application c(f) de G/Ker(f) dans Im(f) telle que f = c(f) o p (o est la composition et se lit "rond"). Que cela signifie-t-il moins formellement ? Un morphisme de groupe est injectif à un multiple du Ker prèsUn morphisme de groupe est surjectif à un multiple du Ker prèsUn morphisme de groupe est bijectif à un multiple du Ker près Quizz.biz est un service gratuit financé par la publicité. Pour nous aider et ne plus voir ce message : Je désactive Adblock ou Je vous soutiens sur Tipeee 15 Comme cette propriété n'est valide que si l'on considère c(f) à valeur dans Im(f), il est d'usage de considérer l'ensemble quotient F/Im(f). Comment appelle-t-on cet ensemble dans la littérature ? Conoy(f)Coim(f)Coker(f) 16 Pour finir ce quiz, parlons de réduction. En réduction, on manipule des classes de similitudes ou de conjugaison. Ces classes-là sont l'ensemble des orbites des matrices carrées ou endomorphisme d'un espace vectoriel sous l'ensemble des matrices inversibles ou des automorphismes. Quelle est l'action de groupe qui permet cette étude ? L'application de GxE dans E, qui à (g,x) associe ... G.xX.gG^(-1).x.gG.x.g Une erreur dans ce Quiz ? Contactez l'auteur Commentaires
