difficile

Question 1 / 20

Dans tout le quiz, E désigne un K-espace vectoriel de dimension n (avec K un corps et n un entier supérieur ou égal à 1). On note Mn(K) l'ensemble des matrices de K de dimension n, et GLn(K) l'ensemble des matrices de Mn(K) inversibles.
Compte tenu des mises en majuscule automatiques, un objet pourra être indifféremment désigné par son nom en minuscule et en majuscule. Par exemple, u et U désigneront la même chose, tout comme x et X.

Commençons par quelques rappels. Qu'est-ce qu'un endomorphisme de E ?

Une application linéaire de E dans E

Une application telle que pour tous x, y ∈ E, f(xy) = f(x)f(y)

Une application linéaire bijective

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normal

Question 2 / 20

Si E est de dimension finie n, tout endomorphisme peut être représenté par une matrice de Mn(K).

Vrai

Faux

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expert

Question 3 / 20

Laquelle de ces propositions est correcte ?

Deux matrices sont semblables ssi leurs rangs sont égaux

Deux matrices A et B sont semblables ssi il existe P ∈ Mn(K) telle que PA = BP

Deux matrices sont semblables ssi elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes

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difficile

Question 4 / 20

Soit u ∈ L(E). Un sous-espace vectoriel F de E tel que u(F) ⊂ F est dit…

Régulier par u

Stable par u

Surjectif pour u

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expert

Question 5 / 20

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p.
On note (e1, ..., ep) une base de F qu'on complète en B = (e1, ..., ep, ep+1, ..., en) une base de E.
Posons G = vect(ep+1, ..., en).
Que peut-on dire au vu de la matrice M ci-dessus, représentant l'endomorphisme u dans la base B ?

F est stable par u

E = F ⊕ G

A est la matrice de l'endomorphisme de F induit par u dans la base (e1, ..., ep)

G est stable par u

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expert

Question 6 / 20

S'il existe x ∈ E non nul et λ ∈ K tels que u(x) = λx, alors :

Λ est une valeur propre de u

X ∈ Ker(u – λ id)

L'espace propre associé à la valeur propre λ est une droite

X est un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ

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expert

Question 7 / 20

Soient u et v deux endomorphismes de E qui commutent. Alors :

Les espaces propres de u sont stables par v

U et v sont codiagonalisables

Pour tout x ∈ E, u(v(x)) = v(u(x))

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expert

Question 8 / 20

Soit u ∈ L(E). On appelle polynôme caractéristique de u, et on note χ_u(X), le déterminant de X id – u. Lesquelles de ces propositions sont vraies ?

Χ_u est un polynôme unitaire de degré n

Les valeurs propres de u sont exactement les racines de χ_u

Si u est diagonalisable, χ_u est scindé à racines simples

Si n = 2, χ_u(X) = X² – Tr(u) X + det(u)

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expert

Question 9 / 20

Soit u ∈ L(E). u est diagonalisable si et seulement si...

Il existe une base de E telle que la matrice de u dans cette base soit diagonale

La somme de ses espaces propres est directe et vaut E

Pour tout λ ∈ Sp(u), la dimension de Ker(u – λ id) est égale à l'ordre de multiplicité de λ en tant que racine de χ_u

Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u

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difficile

Question 10 / 20

Soit p un projecteur de rang r. p est-il toujours diagonalisable, et si oui, quelle est sa matrice dans une base adaptée ?

Oui, et sa matrice dans une base adaptée est une matrice diagonale dont les r premiers coefficients sont des 1 et les n – r suivants sont des 0

Oui, et sa matrice dans une base adaptée est une matrice diagonale dont les r premiers coefficients sont des 1 et les n – r suivants sont des –1

Non, p n'est pas toujours diagonalisable

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expert

Question 11 / 20

Soit u ∈ L(E). Que dire au sujet de la trigonalisation ?

U est trigonalisable ssi il existe une base de u telle que la matrice de u dans cette base soit triangulaire

U est trigonalisable dans la base (e1, ..., en) ssi pour tout k ∈ [|1 ; n|], vect(e1, ..., ek) est stable par u

U est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé à racines simples

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expert

Question 12 / 20

Soit u un endomorphisme trigonalisable. Que peut-on dire de la trace de u ?

Elle est égale à la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité

Elle est égale au produit de ses valeurs propres comptées avec multiplicité

Elle est égale à la somme de ses valeurs propres distinctes

Rien du tout

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difficile

Question 13 / 20

Soit u un endomorphisme trigonalisable. Que peut-on dire du déterminant de u ?

Il est égal à la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité

Il est égal au produit de ses valeurs propres comptées avec multiplicité

Il est égal au produit de ses valeurs propres distinctes

Rien du tout

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expert

Question 14 / 20

Soit u un endomorphisme nilpotent d'indice p (c'est-à-dire que pour tout x ∈ E, u^p (x) = 0, et qu'il existe x ∈ E tel que u^(p–1) (x) ≠ 0). Que peut-on dire ?

Χ_u(X) = X^n

U ne peut pas être inversible

P ≤ n

Il existe une base de E telle que la matrice de u dans cette base soit triangulaire avec tous ses coefficients diagonaux nuls

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expert

Question 15 / 20

Pour le reste du quiz, on note K[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans K, et pour tout u ∈ L(E), on note Π_u le polynôme minimal de u. Par définition, pour tout P ∈ K[X], P(u) = 0 ssi Π_u divise P.

À quoi est égal le degré de Π_u ?

Au nombre de valeurs propres de u

À la plus grande multiplicité des valeurs propres de u

À la dimension de K[u]

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expert

Question 16 / 20

Soit u ∈ L(E). Que dit le théorème de Cayley-Hamilton ?

Π_u(u^k) = 0 pour tout k ≥ 1

Π_u divise χ_u

Χ_u(u) = 0

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expert

Question 17 / 20

Soit u ∈ L(E). Notons λ1, ..., λp ses valeurs propres distinctes. Il est équivalent de dire que u est diagonalisable et que :

Π_u(X) = (X – λ1) (X – λ2) ... (X – λp)

Il existe un polynôme P scindé à racines simples tel que P(u) = 0

Π_u est scindé à racines simples

Χ_u divise Π_u

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expert

Question 18 / 20

Soient u un endomorphisme diagonalisable de E et F un sous-espace vectoriel de E stable par u. Alors l'endomorphisme de F induit par u est diagonalisable.

C'est toujours vrai

C'est vrai ssi χ_u est scindé

C'est faux, et on n'a pas de caractérisation

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expert

Question 19 / 20

Soit u ∈ L(E). Soient P1, P2, ..., Pr ∈ K[X] premiers entre eux deux à deux. On note P = P1 P2 ... Pr.
Que dit le théorème de décomposition des noyaux ?

E = Ker P1(u) ⊕ Ker P2(u) ⊕ ... ⊕ Ker Pr(u)

P(u) = P1 (u) + P2(u) + ... + Pr(u) et la somme est directe si u est diagonalisable

Ker P(u) = Ker P1(u) ⊕ Ker P2(u) ⊕ ... ⊕ Ker Pr(u)

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expert

Question 20 / 20

Soit A ∈ Mn(K) dont le polynôme caractéristique est scindé. Alors A est semblable à une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant triangulaire supérieur et dont les coefficients diagonaux sont une même valeur propre de A.

C'est vrai, et donc en particulier pour toute matrice A ∈ Mn(ℂ)

C'est vrai, mais le polynôme caractéristique de A n'a pas besoin d'être scindé

C'est faux, il faut que A soit diagonalisable

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	Kevin999	70% (936s)
	Laura817	50% (928s)
	Aurore-Eternelle	25% (230s)
4	Poivrette	20% (72s)
5	Jlouis10	10% (171s)
6	Tom2022	5% (125s)

Quiz La réduction des endomorphismes

Si E est de dimension finie n, tout endomorphisme peut être représenté par une matrice de Mn(K).

Laquelle de ces propositions est correcte ?

Soit u ∈ L(E). Un sous-espace vectoriel F de E tel que u(F) ⊂ F est dit…

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p.
On note (e1, ..., ep) une base de F qu'on complète en B = (e1, ..., ep, ep+1, ..., en) une base de E.
Posons G = vect(ep+1, ..., en).
Que peut-on dire au vu de la matrice M ci-dessus, représentant l'endomorphisme u dans la base B ?

S'il existe x ∈ E non nul et λ ∈ K tels que u(x) = λx, alors :

Soient u et v deux endomorphismes de E qui commutent. Alors :

Soit u ∈ L(E). On appelle polynôme caractéristique de u, et on note χ_u(X), le déterminant de X id – u. Lesquelles de ces propositions sont vraies ?

Soit u ∈ L(E). u est diagonalisable si et seulement si...

Soit p un projecteur de rang r. p est-il toujours diagonalisable, et si oui, quelle est sa matrice dans une base adaptée ?

Soit u ∈ L(E). Que dire au sujet de la trigonalisation ?

Soit u un endomorphisme trigonalisable. Que peut-on dire de la trace de u ?

Soit u un endomorphisme trigonalisable. Que peut-on dire du déterminant de u ?

Soit u un endomorphisme nilpotent d'indice p (c'est-à-dire que pour tout x ∈ E, u^p (x) = 0, et qu'il existe x ∈ E tel que u^(p–1) (x) ≠ 0). Que peut-on dire ?

Pour le reste du quiz, on note K[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans K, et pour tout u ∈ L(E), on note Π_u le polynôme minimal de u. Par définition, pour tout P ∈ K[X], P(u) = 0 ssi Π_u divise P.

À quoi est égal le degré de Π_u ?

Soit u ∈ L(E). Que dit le théorème de Cayley-Hamilton ?

Soit u ∈ L(E). Notons λ1, ..., λp ses valeurs propres distinctes. Il est équivalent de dire que u est diagonalisable et que :

Soient u un endomorphisme diagonalisable de E et F un sous-espace vectoriel de E stable par u. Alors l'endomorphisme de F induit par u est diagonalisable.

Soit u ∈ L(E). Soient P1, P2, ..., Pr ∈ K[X] premiers entre eux deux à deux. On note P = P1 P2 ... Pr.
Que dit le théorème de décomposition des noyaux ?

Soit A ∈ Mn(K) dont le polynôme caractéristique est scindé. Alors A est semblable à une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant triangulaire supérieur et dont les coefficients diagonaux sont une même valeur propre de A.

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A Propos

Si E est de dimension finie n, tout endomorphisme peut être représenté par une matrice de Mn(K).

Laquelle de ces propositions est correcte ?

Soit u ∈ L(E). Un sous-espace vectoriel F de E tel que u(F) ⊂ F est dit…

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p. On note (e1, ..., ep) une base de F qu'on complète en B = (e1, ..., ep, ep+1, ..., en) une base de E. Posons G = vect(ep+1, ..., en). Que peut-on dire au vu de la matrice M ci-dessus, représentant l'endomorphisme u dans la base B ?

S'il existe x ∈ E non nul et λ ∈ K tels que u(x) = λx, alors :

Soient u et v deux endomorphismes de E qui commutent. Alors :

Soit u ∈ L(E). On appelle polynôme caractéristique de u, et on note χ_u(X), le déterminant de X id – u. Lesquelles de ces propositions sont vraies ?

Soit u ∈ L(E). u est diagonalisable si et seulement si...

Soit p un projecteur de rang r. p est-il toujours diagonalisable, et si oui, quelle est sa matrice dans une base adaptée ?

Soit u ∈ L(E). Que dire au sujet de la trigonalisation ?

Soit u un endomorphisme trigonalisable. Que peut-on dire de la trace de u ?

Soit u un endomorphisme trigonalisable. Que peut-on dire du déterminant de u ?

Soit u un endomorphisme nilpotent d'indice p (c'est-à-dire que pour tout x ∈ E, u^p (x) = 0, et qu'il existe x ∈ E tel que u^(p–1) (x) ≠ 0). Que peut-on dire ?

Pour le reste du quiz, on note K[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans K, et pour tout u ∈ L(E), on note Π_u le polynôme minimal de u. Par définition, pour tout P ∈ K[X], P(u) = 0 ssi Π_u divise P. À quoi est égal le degré de Π_u ?

Soit u ∈ L(E). Que dit le théorème de Cayley-Hamilton ?

Soit u ∈ L(E). Notons λ1, ..., λp ses valeurs propres distinctes. Il est équivalent de dire que u est diagonalisable et que :

Soient u un endomorphisme diagonalisable de E et F un sous-espace vectoriel de E stable par u. Alors l'endomorphisme de F induit par u est diagonalisable.

Soit u ∈ L(E). Soient P1, P2, ..., Pr ∈ K[X] premiers entre eux deux à deux. On note P = P1 P2 ... Pr. Que dit le théorème de décomposition des noyaux ?

Soit A ∈ Mn(K) dont le polynôme caractéristique est scindé. Alors A est semblable à une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant triangulaire supérieur et dont les coefficients diagonaux sont une même valeur propre de A.

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p.
On note (e1, ..., ep) une base de F qu'on complète en B = (e1, ..., ep, ep+1, ..., en) une base de E.
Posons G = vect(ep+1, ..., en).
Que peut-on dire au vu de la matrice M ci-dessus, représentant l'endomorphisme u dans la base B ?

Pour le reste du quiz, on note K[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans K, et pour tout u ∈ L(E), on note Π_u le polynôme minimal de u. Par définition, pour tout P ∈ K[X], P(u) = 0 ssi Π_u divise P.

À quoi est égal le degré de Π_u ?

Soit u ∈ L(E). Soient P1, P2, ..., Pr ∈ K[X] premiers entre eux deux à deux. On note P = P1 P2 ... Pr.
Que dit le théorème de décomposition des noyaux ?