Quiz QCM
Quiz Mathematiques

Quiz La réduction des endomorphismes

P.Louis

P.Louis
0 joués - 2 heures

Quiz d'algèbre linéaire sur la réduction d'endomorphismes (niveau bac +2).

J'ai essayé d'apporter le plus d'explications possibles. Si jamais à l'issue du quiz il vous reste des questions, n'hésitez pas à les poser en commentaires.

Pour chaque question, le nombre de bonnes réponses est donné en indice.

 

Normal QCM 20 QUESTIONS
normal
QCM : Chaque question peut avoir plusieurs bonnes réponses
 
Question 1 / 20

Dans tout le quiz, E désigne un K-espace vectoriel de dimension n (avec K un corps et n un entier supérieur ou égal à 1). On note Mn(K) l'ensemble des matrices de K de dimension n, et GLn(K) l'ensemble des matrices de Mn(K) inversibles.
Compte tenu des mises en majuscule automatiques, un objet pourra être indifféremment désigné par son nom en minuscule et en majuscule. Par exemple, u et U désigneront la même chose, tout comme x et X.

Commençons par quelques rappels. Qu'est-ce qu'un endomorphisme de E ?

 
Question 2 / 20

Si E est de dimension finie n, tout endomorphisme peut être représenté par une matrice de Mn(K).

 
Question 3 / 20

Laquelle de ces propositions est correcte ?

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Question 4 / 20

Soit u ∈ L(E). Un sous-espace vectoriel F de E tel que u(F) ⊂ F est dit…

 
Question 5 / 20

Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p.
On note (e1, ..., ep) une base de F qu'on complète en B = (e1, ..., ep, ep+1, ..., en) une base de E.
Posons G = vect(ep+1, ..., en).
Que peut-on dire au vu de la matrice M ci-dessus, représentant l'endomorphisme u dans la base B ?

 
Question 6 / 20

S'il existe x ∈ E non nul et λ ∈ K tels que u(x) = λx, alors :

 
Question 7 / 20

Soient u et v deux endomorphismes de E qui commutent. Alors :

 
Question 8 / 20

Soit u ∈ L(E). On appelle polynôme caractéristique de u, et on note χ_u(X), le déterminant de X id – u. Lesquelles de ces propositions sont vraies ?

 
Question 9 / 20

Soit u ∈ L(E). u est diagonalisable si et seulement si...

 
Question 10 / 20

Soit p un projecteur de rang r. p est-il toujours diagonalisable, et si oui, quelle est sa matrice dans une base adaptée ?

 
Question 11 / 20

Soit u ∈ L(E). Que dire au sujet de la trigonalisation ?

 
Question 12 / 20

Soit u un endomorphisme trigonalisable. Que peut-on dire de la trace de u ?

 
Question 13 / 20

Soit u un endomorphisme trigonalisable. Que peut-on dire du déterminant de u ?

 
Question 14 / 20

Soit u un endomorphisme nilpotent d'indice p (c'est-à-dire que pour tout x ∈ E, u^p (x) = 0, et qu'il existe x ∈ E tel que u^(p–1) (x) ≠ 0). Que peut-on dire ?

 
Question 15 / 20

Pour le reste du quiz, on note K[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans K, et pour tout u ∈ L(E), on note Π_u le polynôme minimal de u. Par définition, pour tout P ∈ K[X], P(u) = 0 ssi Π_u divise P.

À quoi est égal le degré de Π_u ?

 
Question 16 / 20

Soit u ∈ L(E). Que dit le théorème de Cayley-Hamilton ?

 
Question 17 / 20

Soit u ∈ L(E). Notons λ1, ..., λp ses valeurs propres distinctes. Il est équivalent de dire que u est diagonalisable et que :

 
Question 18 / 20

Soient u un endomorphisme diagonalisable de E et F un sous-espace vectoriel de E stable par u. Alors l'endomorphisme de F induit par u est diagonalisable.

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Question 19 / 20

Soit u ∈ L(E). Soient P1, P2, ..., Pr ∈ K[X] premiers entre eux deux à deux. On note P = P1 P2 ... Pr.
Que dit le théorème de décomposition des noyaux ?

 
Question 20 / 20

Soit A ∈ Mn(K) dont le polynôme caractéristique est scindé. Alors A est semblable à une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant triangulaire supérieur et dont les coefficients diagonaux sont une même valeur propre de A.